시계열 (3) - Seasonality

시계열 데이터에 cyclical trend, 즉 seasonality가 있으면  non-stationary한 시계열이고, 그를 통해 분석한 시계열 모형으로 유의미한 추정치을 얻지 못하게 된다.

 

그래서 ARMA 모형에 seasonal frequency에 dependent한 요소를 추가하여 계절성을 잡아내고, 안정 시계열로 조정하기 위해 seasonal lags를 시차다항식 부분에 곱해준다.

 

ex. ARMA(1,1) model when monthly seaonsality exists (s=12) 

$$ y_{t} = \rho y_{t-1} + u_{t}, \quad where\ |\rho| < 1 $$

 

안정시계열이므로 lag polynomial 형태로 전환하면,

$$ A(L)y_{t} = u_{t}, \quad where\ A(L)=(1-\rho L) $$

monthly seasonality를 모델에 반영하는 방법에는 두 가지가 있는데,

 

1) AR component에 곱해주거나, 

2) MA component에 곱해주면 된다

1) AR component에 반영

$$ (1-\tilde{\theta_{12}}\tilde{L}_{12})A(L)y_{t}= u_{t} $$

 

전개하면,

 

$$ y_{t} - \tilde{\theta_{12}} y_{t-12} -\rho y_{t-1} - \tilde{\theta_{12}} \rho y_{t-13} = u_{t} $$

 

2) MA component에 반영

$$ A(L)y_{t}= (1+\tilde{\theta_{12}}\tilde{L}_{12})u_{t} $$

 

$$ A(L) y_{t} = u_{t} + \tilde{\theta_{12}} u_{t-12} $$

 

seasonal lag를 추가하면 계절성을 잘 반영할 수 있게 된다는 장점이 있지만,

대신 모델 추정 오류(misspecification error)의 발생, 그리고 계수 추정으로 인해 자유도를 많이 잃어버리게 된다는 trade-off 관계가 있으므로 적당히 parsimonious 한 모델을 사용하는 것이 좋다.