1주차 : asset return의 stylized facts, 자주 쓰이는 분포

1. Simple return vs. CC-return (Continously Compounded Return ; log - return)

- Simple Return (net term)

$$ P_{t} = \frac {P_{t} - P_{t-1}} {P_{t}} $$

- CC-return

$$ r_{t} = log(1+R_{t}) = log(P_{t}/P_{t_1}) $$

 

- 금융시계열분석에서 Simple Return은 잘 쓰지 않음

* 이유 :

(1) 확률 분포에 대한 가정을 적용하기에 어려움이 있음

(2) high frequency data인 경우에 simple return과 log return의 값이 유사

(3) 분석하기에 편리함 :

- 만약 log return이 정규분포를 따른다고 가정하면 multi-period return을 구하려고 할 때

$$ r_{t}(2) = ln(1+R_{t}(2)) = ln(\frac{P_{t}}{P_{t-2}}) = ln(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}) $$

$$ \qquad = ln(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}) + ln(\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}) = r_{t} + r_{t-1} $$

=> multi-period return은 log-return의 합으로 표현됨.

이 때, 로그수익률이 정규분포를 따른다 가정했고 정규분포의 합도 정규분포를 따르므로 multi-period return도 정규분포.

따라서, 로그 수익률의 정규분포를 가정하는 경우 분포에 대한 추가적인 가정을 할 필요가 없어진다

 

2. 관련 이슈들

(1) 금융시계열 분석은 자산 '수익률'간의 확률분포에 대한 '예측'이 초점 : 이와 관련하여 추정하는 수치들

- 기댓값

- 분산

- 변동성(volatility)

- 기타 관련 위험의 척도: 왜도, 첨도, 상관관계, 꼬리 ... VaR(Value at Risk)로!

* 왜 ? '위기'에 대한 고려가 필요하기 때문

* 변동성과 분산의 차이
- 분산 : 사전적 정의 그대로
- 변동성 :
(1) unconditional 측면 : 분산과 같음
(2) conditional 측면 : 
$$ var(r_{t}|I_{t-1}) $$ 
즉 조건부 분산 또는 제곱근값인 표준편차값을 의미함

(2) 샘플 밖에서의 추정 성과에 초점

- 얼마나 잘 예측하는지가 중요하므로, 횡단면데이터분석에서의 goodness-of-fit은 상대적으로 덜 중요

 

(3) 구조 파라미터에 대한 통계적 추론을 수행

- 모집단 분포에 대한 가정을 바탕으로 통계적 유의성을 확인

 

3. 자산 수익률 분포에 대한 stylized facts

(1) Fat tail을 가짐

- 기본적으로 정규분포가 맞지 않음

- 그럼에도 불구하고 쓰는 이유는 정규분포 가정하면 분석하기 편하기 때문

(2) 비대칭 분포

- 기본적으로 negatively skewed

- 정규분포의 Skewness(왜도)는 0

(3) Aggregated Normality 

- simple return와 같은 high frequency data는 정규성 가정을 적용할 수 없다는 결론이 실증 분석상 받아들여지고 있음

- 하지만 기간이 길어질수록 정규분포로 aggregate되는 경향이 존재함도 대다수에게 받아들여지고 있음

(4) Absence of serial correlation

- 시계열 데이터는 기본적으로 자기상관(계열상관)이 존재할 수 있다고 알려져 있지만,

- 자산수익률의 시계열의 경우에는 실증 분석시 자기상관이 대부분 존재하지 않는 것으로 밝혀지고 있음

(4) Volatility Clustering : 변동성군집현상

자산수익률 데이터를 보면 변동성이 큰 구간과 낮은 구간이 뭉쳐서 존재하는 경향이 있음을 알 수 있음

 

 

4. 금융시계열데이터 분석시 사용하는 분포들

- 금융 시계열 데이터의 특징들이 반영되어있는 분포를 사용하는 것 !

(1) 정규 분포

$$X \sim N(\mu, \sigma^2) $$

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi\sigma^2)}}\exp(- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) $$

- 1차, 2차 모먼트로 모든 특징을 설명할 수 있음

✨ 정규분포를 사용하지 않는 이유

a. 초과첨도현상

- 정규분포의 Excess Kurtosis (= 4차 모먼트 - 3)은 0

- Simple Return의 Excess Kurtosis는 10이상으로 보통 도출됨

==> Simple return에는 정규분포 가정을 하지 XX

b. 자산가격이 음수가 될 가능성 존재

- 자산 가격이 음수가 될 가능성이 양의 확률로 존재함

- Simple return의 정의는 위와 같고, 자산 가격이 0이상일 제약을 부과하면 

$$ R_{t} \ge -1 $$ 의 부등식이 도출됨

해당 범위를 만족하지 않는 정규분포상의 확률을 도출해보면

$$ P(R_{t} < -1) =  0.018 = 0.18% $$

그냥 보기엔 작은 수치 같지만, 실제로 작은 값이 아님 ... 현실과 맞지 않아서 정규분포 가정은 잘 하지 않는다

 

(2) log-normal distribution : 로그정규분포

- X가 로그정규분포를 따른다면

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{(2\pi\sigma^2)}}\exp(- \frac{(log x-\mu)^2}{2\sigma^2})\frac{}{} , & 0 < x < \infty \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases} $$

- X가 정규분포를 따르면, exp(X)는 로그정규분포를 따른다

$$ E[exp(X)] = exp(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2) $$

$$ Var[exp(X)] = exp(2\mu+2\sigma^2) - exp(2\mu+sigma^2) $$ 

(3) Skew Normal Distribution : 정규분포에 왜도를 반영하는 파라미터를 추가한 형태

- Azzalini and Capitano (2003, JRS) :

$$ Z \sim SN(\xi, \omega, \alpha) $$

$$ f(z) = 2\phi(z-\xi)\boldsymbol{\phi}(\alpha\omega^{-1}(z-\xi)) $$

\[\phi(z)=(2\pi)^{-1/2} exp(-\frac{z^{2}}{2}), \boldsymbol{\phi}(z) = \int_{-\infty}^{z} \phi(x)dx\]

$$ \xi = \mbox{location parameter}, -\infty<\xi<\infty $$

$$ \omega = \mbox{scale parameter}, \omega > 0 $$

$$ \alpha = \mbox{shape (skew) parameter}, -\infty<0<\infty $$