New Keynesian model : 명목실효하한과 최적 통화 정책 (~ing)

Werning(2012) : Managing a liquidity trap, MIT working paper

 

[사용할 모델] 뉴케인지언 모형

1. dynamic IS curve : Euler Equation을 로그선형화해서 도출

$$\dot{x}(t)=\frac{1}{\sigma }[i(t)-\pi (t)-r^n(t)]$$

2. NKPC(New Keynesian Philips Curve)

$$\dot{x}(t)=\rho \pi (t)-\kappa x(t)$$

k는 가격(물가)이 신축적인 정도를 나타내는 파라미터

3. interest rate rule

$$i(t)=r^n(t)+{\varphi }_{\pi }\pi (t)$$

$${\varphi }_{\pi }\le 1\text{일 때는 multiple equilibria 발생}$$ 

$${\varphi }_{\pi }>1\text{일 때는 unique eqbm으로 나타남}$$ 

 

4. 명목 실효 하한(zero lower bound)의 가정

$$i(t)\ge 0$$

 

1. 가정

- T기간 동안 경제는 유동성 함정에 빠진다

- 사회후생에 관한 손실함수의 형태

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\rho t}(x(t{)}^2+\lambda \pi (t{)}^2)dt,\lambda \stackrel{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\frac{\lambda }{\kappa }\ge 0$$

- 중립금리의 시간경로

 

$$r^n(t)=\underset{―}{r},\text{if t}\in [0,T)$$

$$r^n(t)=\overline{r},\text{if t}\in [T,\mathrm{\infty })$$ 

- 통화당국은 금리정상화 이후 (t>= T)에는 원래의 sufficiently reactive i-rule에 따라 정책을 운영함

$$(x(t),\pi (t))=(0,0)\mathrm{\forall }t\ge T$$이 되도록 운영

이 때, liquidity trap에 빠졌을 때의 동학은 어떨까 ?

 

2. Qualitative Analysis

i. 1st best solution

[가정] 

- 유동성 함정에 빠진 기간 : 

$$t<T$$

- 0의 명목하한에 도달 :

$$i(t)=0$$

[system of equations]

(1) output gap의 동학

$$\dot{x(t)}=-\frac{1}{\sigma }(\pi (t)+\underset{―}{r})$$

(2) inflation의 동학

$$\dot{\pi (t)}=\rho \pi (t)-\kappa x(t)$$

(3) terminal condition

$$(x(T),\pi (T))=(0,0)$$

 

[dynamics & phase diagram]

$$\dot{x(t)}>0⟺\pi (t)<-\underset{―}{r}(>0)$$

$$\dot{\pi (t)}>0⟺x(t)<\frac{\rho }{\kappa }\pi (t)$$

- optimal policy 시행시 

* 디플레이션과 경기침체를 겪다가, 시간이 흐름에 따라 점차 완화되어 말기 조건인 (0, 0)에 도달한다

* 최초 침체의 정도는 유동성 함정에 빠져있는 기간이 길수록 심해진다.

x(0), pi(0)의 위치는 빨간색 경로 상에 위치하는데, 유동성 함정에 빠져있는 기간이 길수록 빨간색 경로의 왼쪽에 위치하고, 경로를 역으로 따라가면 더 깊은 디플레이션과 불황을 나타냄

직관 ) 

$$i(t)-\pi (t)=-\pi (t)(>0)$$ 실질금리가 이 기간동안 너무 높아서 소비, 투자, 생산 모두 위축시키고,

$${\pi }^e(t)$$ 마저도 낮춰버린다.

$$t\to \mathrm{\infty }$$ 일수록 그 정도는 더욱 심해진다.