OLG(Overlapping Generations) model : 중첩세대모형

*** 수식이 오래걸려서 틈틈이 완성시킬 예정 

 

Samuelson(1958)이 제안. consumption-loan model of interest

 

[implications]

① 완전경쟁균형의 비효율성을 화폐의 도입을 통해 제거할 수 있음을 보임

② 인구증가율에 상응하는 이자율이 발생

==> 시간 선호율없이 이자율의 자연적인 발생 가능성을 제시

③ 화폐수요의 동기를 케인지언적 사고에서 벗어나 제시함

 

[assumptions]

① 개인의 수명은 유한하고, Y(young)와 O(old)의 2기간을 사는 것을 가정  

② 인구는 n의 비율로 증가

$$ N_{t} = (1+n)^{t}N_{0} $$ 

③ 생산은 1기에만 이루어진다

$$ (y_{1}, y_{0}) = (1, 0) $$

④ 재화는 저장될 수 없다 (perishable goods)

=> 감가상각이 100%로 발생한다 

=> 시간에 걸친 재화의 교환이 불가능함을 의미

==> 기간간 소득의 이전을 위해서는 다른 수단이 필요함

 

1. 자급자족경제(autarky) 균형

- 그 기에 생산한 것은 그 기에만 소비할 수 있음

$$ (c_{1}^{*}, c_{2}^{*}) = (y_{1}, y_{0}) = (1, 0) $$

 

2. 완전경쟁 균형

$$ \max u(c_{1}, c_{2}) $$

$$ s.t. c_{1} + \frac{c_{2}}{1+r} = y_{1}+y_{2} $$ 

 

$$ \mathcal{L} = u(c_{1}, c_{2}) + \lambda[1-c_{1}-\frac{c_{2}}{1+r}] $$

 

$$ u(c) = \ln c $$로 두고, 가정에 의해 $$ r = -100% $$이므로, 결국 자급자족 경제와 동일 균형 도출

 

3. 파레토 최적 균형

$$ \max u(c_{1}, c_{2}) $$

$$ s.t. (1+n)^{t}c_{1}+(1+n)^{t+1}c_{2} = (1+n)^{t} $$

또는 $$ c_{1} + \frac{c_{2}}{1+n} = 1 $$

 

** 완전경쟁균형 도출시엔 기간 간 소비의 소득제약식을 썼고, 파레토 최적은 t기의 자원제약식을 사용

 

최적 균형은 

$$ c_{1}^{*} = \frac{1}{2}, c_{2}^{*} = \frac{1+n}{2} $$

으로 도출되고, 따라서 위에서 구한 competitive equilibrium은 pareto optimal이 아님을 확인.

 

여기서 r = n일 때 경쟁균형은 파레토 최적이 되고, 이때의 r을 자연적 이자율이라고 한다.

 

(Y, O)의 2기간을 (Y, M, O)의 3기간으로 확장하여 파레토 최적에 도달하지 못하는 이유를 파악해보자.

 

4. 3 Period Model