20210105 : 미시경제학 복습 (1)

1. 가격소비곡선(PCC), 소득소비곡선(ICC), 엥겔곡선(EC), 보통수요곡선(Marshallian Demand Curve)

(1) 소득소비곡선(ICC)

- 소득이 증가할 때, 두 재화의 수요가 어떻게 변화하는지를 보여주는 곡선

- 특히, 증가한 소득이 두 재화 사이에 어느 쪽으로 많이 사용되는지를 한 눈에 보여줌

- 도출 과정

(i) 예산제약식과 효용함수를 바탕으로 소비자의 효용극대화문제를 통해 라그랑지안을 세운 후 보통수요함수를 도출

(2) X재, Y재에 있는 소득 매개변수(M)을 소거하여 재화 소비량의 비율(X/Y) 형태로 식을 연결한다.

 

- 특징 :

(i) ICC가 원점을 지나는 경우

* 동조적 효용함수(한계대체율이 재화의 비율에만 의존하는 함수)의 경우에는 ICC가 원점으로부터 뻗어나온다.

ex. 콥더글라스, CES 효용함수 등

cf. 준선형효용함수의 경우 한 쪽 재화의 수량에만 MRS가 의존하므로 동조적 효용함수가 아님.

* ICC가 원점으로부터 뻗어나오면 소득이 증가할 때 두 재화의 수요가 같은 비율로 증가한다.

   즉, 소득탄력성이 두 재화 모두 1이다.

* ICC가 X축 또는 Y축에 치우친 상태이더라도, 원점을 지나는 직선이면 한 쪽 재화를 지속적으로 더 많이 쓰지만, 소득 증가에 따라 두 재화 모두 같은 비율로 증가하는 것

(ii) ICC가 원점을 지나지 않는 경우

* 소득탄력성이 1보다 큰 재화와, 1보다 작은 재화가 동시에 존재하고 있는 상태.

* X축에 더 가까우면 X축 표시 재화의 소득탄력성 >1 (즉, 사치재), Y축 표시 재화는 필수재 또는 열등재

* Y축에 더 가까우면 Y축 표시 재화의 소득탄력성 >1, X축 표시 재화는 필수재 (0<Em<1) 또는 열등재(Em<0)

 

⭕ 참고 : 각 재화의 소득탄력성을 전체 지출에서 각 재화에 대한 지출이 차지하는 비율로 가중치를 둔 가중평균을 하면 정확히 1이 된다 (예산제약식을 m으로 편미분하면 직관적 확인)

 

(2) 가격소비곡선(PCC)

*재화 2의 가격과 소득이 고정되어있음을 가정

- 정의 : [재화 1 가격 변화에 따른] PCC : 재화 1의 가격이 연속적으로 변할 때 재화비율을 나타낸 곡선

(i) 재화 1 가격에 대한 PCC가 X축에 대해 수평선인 경우(기준) :

재화 1의 가격탄력성 = 1, 재화 1의 교차탄력성 = 0 (중립재)

왜 ? p1의 변화폭이 x재 수요량 증가에 정확히 반영됨 -> 가격탄력성 1. p1의 변화가 x2에는 영향을 못미침 -> 중립재

(ii) 우상향의 PCC가 나타나는 경우 : 

- 교차탄력성 < 0 . 즉, 두 재화는 대체재 관계 (이렇게 그려서 확인하자) + 김왕저 p.169

[그래프를 통한 확인]

(iii) 우하향의 PCC가 나타나는 경우 :

- 교차탄력성 > 0. 즉, 두 재화는 보완재 관계

(3) 엥겔곡선(EC)

- 다른 모든 것들(재화1, 2의 가격)이 고정되어있을 때, 한 재화의 수요량과 소득간의 관계를 (수량, 소득)평면에 도시한 것

- 도출 : 효용극대화 문제를 풀어 도출한 보통수요함수에서 소득(M)에 관한 식으로 정리하고 수량(X)와 소득(M) 이외의 변수를 외생으로 취급

- X재의 엥겔곡선을 그렸을 때, X재의 가격이 변화하는 경우 엥겔곡선은 좌우(위아래)로 이동한다

* 기펜재의 엥겔곡선

(4) 보통수요곡선(Marshallian)

- 위에서 이미 언급. 예산제약식과 효용함수를 바탕으로 도출한 재화에 대한 최적해(X*, Y*)가 보통수요함수.

2. 준선형효용함수(quasi-linear utility function)

- 형태 예시(Y재에 대한 준선형효용함수)

$$U(X,Y)=X^{\frac{1}{2}}+Y$$

 

- 특징 :

* MRS가 비선형으로 효용함수에 표시된 재화의 수량에만 의존한다

* 일정 소득 이하까지는 비선형 재화만을 소비하고, 일정 수준을 초과하는 소득으로 선형으로 표시된 재화만을 소비한다.

(위 함수를 예시로 들자면, 일정 수준까지는 X재만을 소비하고, 그 수준을 넘어가면 초과소득으로 Y재만을 소비한다)

- 이유와 직관 :

(i) 이유

$$\frac{M{U}_x}{P_x}=\frac{M{U}_y}{P_y}$$

1원당 X재의 한계효용 = 1원당 Y재의 한계효용이 성립하는 수준까지 X재를 소비.

효용함수 미분해서 위 식에 정리해보면 X재의 범위에 대한 관계식이 도출됨.

그 범위 내에서는 X재만 사용하므로 부등식에 Px를 곱하면 소득에 대한 범위로 전환할 수 있음.

=> X재만 사용하는 소득 범위를 이렇게 도출할 수 있고, 이 구간 내에서는 효용극대화수량이 코너해로 존재.

=> 초과 범위의 소득에서 두 재화를 모두 소비하게 된다.

(ii) 직관

효용을 극대화하려면 각 재화 구입에 지출한 금액으로부터 얻는 한계효용의 균등화가 이루어져야 함.

그런데 X재는 소비를 늘릴수록 한계효용이 체감하고, Y재는 한계효용이 1로 일정함

결국 위 등식이 성립할 때까지 소비를 늘리면, X재 구입 지출 금액으로부터의 한계효용이 (Y재 가격1이라면) 1고 ㅏ같아질 때까지 X재를 소비하게 된다.

그 수준 이후로도 X재의 소비를 늘릴수록 MUx는 계속 체감하므로, 다음부터는 모든 소득을 Y재 구입에 지출해야 합리적

 

- 준선형효용함수의 ICC

* 준선형효용함수의 경우 특이한 점이, X재만을 소비하는 구간에서는 소득에 상관없이 항상 일정한 수량을 소비한다는 것. (효용극대화 문제 풀어보면 일정하게 도출됨)

-> 따라서 ICC는 그 구간 내에서는 수평축에 X재를 나타내면 수평축에 일직선으로 나타나고

(왜? Y재를 전혀 사용하지 않으니까),

그 이상의 소득 구간에서는 X재를 더 이상 소비하지 않으므로 수직으로 꺾인 형태가 된다.  (최종적으로 ┘의 형태)

* 문제풀이 태도

(1) 소비자의 효용극대화 문제에서 X재, Y재 수량에 할당(rationing)이 걸려있는 경우 부등식 제약

-> 바로 쿤터커 조건을 떠올린다

(2) 정확한 수치가 제시되어있지 않고 소득(M) 등 파라미터로만 표시된 경우, 구간을 나누어서 생각해야 한다.

-> 내부해를 갖는 경우 : 

-> 코너솔루션을 갖는 경우 : 

바로 두 가지 케이스로 나누고 접근하기

* 엄밀히 따지면 라그랑지안을 통한 극대화 문제 풀이는 내부해를 가진다고 이미 가정하고 시작하는 것.

라그랑지안 편미분해서 정리한 식을 가지고 최적해를 도출하는 과정에서 MRS = 가격비율 등의 당연히 성립해야 할 등식이 성립하지 않는 모순이 나타난다면 코너해를 갖는 경우이므로 ① X = 0인 경우, ② Y = 0인 경우로 나누어서 최적 코너해 후보를 찾고, 효용함수에 값을 대입해서 둘 중 더 큰 효용을 반환하는 조합이 최종 최적해가 된다.

-> 이런 경우까지 다 고려할 수 있는게 쿤터커 조건을 활용한 풀이이므로 웬만하면 바로 쿤터커 조건을 떠올리자. 

 

 

 

[ 정리 출처 ]

- 임봉욱 미시경제학연습 (4판)

제1장 : 소비자의 최적선택

제2장 : 현시선호이론

- 김영산·왕규호 미시경제학 (2판)